§ 274. Признаки возрастания и убывания функции в точке

Достаточный признак. Если производная положительная в точке то функция в этой точке возрастает, если отрицательная, то убывает.

Геометрически: если угловой коэффициент касательной (рис. 262) положителен, то вблизи от точки график лежит выше справа и ниже — слева; если угловой коэффициент отрицателен

Рис. 262

(рис. 263), то вблизи от точки график лежит ниже справа и выше — слева.

Замечание. Если то при а функция может быть возрастающей (точка на рис. 262); она может быть и убывающей (точка на рис. 263). Но, как правило, функция не будет при ни убывающей, ни возрастающей (точки на рис. 264). Способы разделения этих случаев указаны в §§ 278 и 279.

Пример 1. Функция (рис. 265) возрастает в точке так как Та же функция убывает в точке где . В точке где функция не убывает и не возрастает.

Необходимый признак. Если функция возрастает в точке то ее производная в этой точке положительная (как в точке на рис. 262) или равна нулю (как в точке на рис. 262):

Аналогично для убывающей функции; ее производная отрицательна или равна нулю в точке

Пример 2. Функция (рис. 266) возрастает в любой точке. Ее производная положительна всюду, кроме точки где

Рис. 263

Рис. 264

Рис. 265

Рис. 266