§ 294. Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом данного выражения (или данной функции называется наиболее общий вид его первообразной функции.

Неопределенный интеграл выражения обозначается

Постоянное слагаемое подразумевается включенным в это обозначение.

Происхождение знака и наименования «интеграл» объяснено в § 292, пп. 2 и 3. Слово «неопределенный» подчеркивает, что в общее выражение первообразной функции входит постоянное слагаемое, которое можно взять произвольно.

Выражение называется подынтегральным выражением, функция подынтегральной функцией, переменная переменной интегрирования. Нахождение неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием

Пример 1. Наиболее общий вид первообразной функции для выражения есть Эта функция является неопределенным интегралом выражения

Можно также записать:

Различие в обозначениях постоянных подчеркивает, что они неодинаковы ( § 293, предостережение).

Пример 2. Найти неопределенный интеграл выражения

Решение. Функция является производной от Поэтому

Пример 3. Найти неопределенный интеграл выражения .

Решение. Функция - разрывна при х = 0. Будем рассматривать сначала положительные значения . Так как

Так как то можно также написать:

Постоянные связаны соотношением

Аналогично можно записать:

и т. д. Для отрицательных значений функция не определена, и формулы (3), (4) и (5) не подходят. Зато функция определена: ее дифференциал тоже равен Теперь имеем:

и аналогично:

и т. д. Формулы (3) и (6) можно объединить:

Формула (7) подходит для любых значений кроме (ср. § 295, пример 3).