§ 305. О приемах интегрирования рациональных дробей

При интегрировании неправильной рациональной дроби сначала исключаем из нее целую часть (§ 304а).

Пример 1.

(ср. § 304а, пример 2).

Так как целая часть интегрируется непосредственно, то интегрирование всякой дробной рациональной функции сводится к интегрированию правильной дроби. Для этого существует общий метод (§ 307). Но он часто связан с длительными вычислениями. Поэтому полезно, где возможно, использовать частные особенности подынтегрального выражения.

Так, если числитель подынтегрального выражения равен дифференциалу знаменателя (или отличается от него постоянным множителем), то знаменатель надо принять за вспомогательную функцию.

Пример 2.

Аналогичный прием применяется, когда в числителе — дифференциал некоторого многочлена, а в знаменателе — степень того же многочлена.

Пример 3.

Если числитель и знаменатель имеют общий множитель, бывает полезно произвести сокращение.

Пример 4.

Здесь дробь сокращается на Получаем:

Замечание 1. Иной раз сокращать дробь нет смысла. Так, в примере 2 можно представить дробь в виде

и сократить на Но интеграл

вычислить труднее, чем исходный, не говоря о том, что разложение на множители представляет немалую трудность.

Замечание 2. Общий метод интегрирования рациональных дробей состоит в разложении данной дроби на сумму так называемых простейших дробей. В § 306 объяснено, что это за дроби и как их интегрировать. В § 307 указано, как разложить данную дробь на простейшие.