§ 212. Основные свойства бесконечно малых величин

Здесь предполагается, что рассматриваемые величины являются функциями одного и того же аргумента.

Теорема 1. Сумма двух, трех и вообще любого неизменного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

Замечание 1. Если число слагаемых не остается неизменным, а меняется вместе с изменением аргумента, то теорема 1 может потерять силу. Так, если имеем слагаемых, по отдельности равных то при

каждое слагаемое бесконечно мало, но сумма равна 1.

Замечание 2. Разность двух бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая (частный случай теоремы 1).

Теорема 2. Произведение ограниченной величины (§ 210) на величину бесконечно малую есть бесконечно малая величина.

В частности, произведение постоянной величины на величину бесконечно малую, а также произведение двух бесконечно малых величин есть бесконечно малая величина.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой величины на переменную величину, стремящуюся к пределу, не равному нулю, есть бесконечно малая величина.

Замечание 3. Если предел делителя равен нулю, т. е. если и делимое и делитель бесконечно малы, то частное может и не быть бесконечно малым. Так, величины бесконечно малы при Частное тоже бесконечно мало, а частное бесконечно велико. Величины бесконечно малы при а предел частного равен 3.