Если полюс лежит внутри контура (рис. 452) и каждый полярный луч встречает контур однократно, то в формуле (2) можно положить 
если же полюс лежит на контуре, то 
.
Рис. 452
Рис. 453
Если каждая окружность с центром в полюсе, пересекающая контур, встречает последний не более двух раз (см. рис. 450), то
Здесь 
, а 
функции от 
представляющие граничные дуги 
Пример 1. Найти двойной интеграл
если область 
полукруг диаметра а, изображенный на рис. 454.
Решение. Для точек 
полуокружности 
имеем
Рис. 454
(§ 74, пример 2): 
. Применяем формулу (2), полагая 
Замечание 1. Чтобы выразить интеграл (4) в прямоугольных координатах, надо положить:
Учитывая, что уравнение полуокружности 
есть 
получим:
Замечание 2. Интеграл (4) дает объем цилиндрического копыта (ср. § 456, пример 2), у которого высота равна радиусу основания.
Пример 2. Вычислить интеграл
Решение. Область 
круг радиуса 
с центром в точке (0; 0) (интеграл I выражает объем полушария радиуса а). Вычисление в прямоугольных координатах громоздко. Перейдем к полярным. За полюс примем теперь центр круга, т. е. начало координат. Подынтегральная функция примет вид 
Получим:
Применив (2), найдем:
Пример 3. Найти объем V тела, вырезанного из полушария радиуса а (рис. 455) цилиндрической поверхностью, у которой диаметр равен радиусу шара, а одна из образующих совпадает с осью полушария (тело Вивиани).
Решение. Расположим оси, как на рис. 455. Искомый объем выражается интегралом
Вычисление в прямоугольных координатах громоздко. Переходя к полярным с полюсом в центре О полушария (ср. примеры 1,2), получаем:
Рис. 455
выражается через полярные координаты точки 
формулой
та функция координат 
которая представляет данную функцию 
точки 
Выражение 
называется элементом площади в полярных координатах. Оно эквивалентно площади четырехугольника 
(рис. 450 
).
были прямоугольными координатами (при подынтегральной функции 
).
то
функции от 
представляющие граничные дуги 
. В частности, эти функции (одна или обе) могут быть постоянными (рис. 451).
