§ 148. Пучок плоскостей

Множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую называется пучком плоскостей. Прямая называется осью пучка.

Если известны уравнения двух различных плоскостей

принадлежащих пучку (т. е. уравнения оси пучка; см. § 140), то каждую плоскость пучка можно представить уравнением вида

Обратно, уравнение (3) при любых значениях (не равных нулю одновременно) представляет плоскость, принадлежащую пучку с осью . В частности, при получаем плоскость а плоскость Уравнение (3) называется уравнением пучка плоскостей.

Когда мы можем разделить уравнение (3) на Обозначив через получим уравнение

Здесь всевозможные значения даются только одной букве но из (4) нельзя получить уравнения плоскости

Пример 1. Пусть даны уравнения

двух плоскостей пучка, т. е. уравнения оси пучка.

Уравнение пучка есть

Например, взяв , будем иметь:

Уравнение (8) или

представляет одну из плоскостей пучка.

Пояснение. Возьмем на прямой какую угодно точку . Ее координаты удовлетворяют уравнениям (5) и (6), а следовательно, и уравнению (8). Значит, плоскость (8) проходит через всякую точку прямой т. е. принадлежит пучку.

Пример 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую примера 1 и через точку (1; 0; 0).

Решение. Искомая плоскость представляется уравнением вида (7). Последнее должно удовлетворяться при Подставляя эти значения в (7), находим т. е. Получаем уравнение

т. е.

Пример 3. Найти уравнения проекции прямой

на плоскость

Решение. Искомая проекция (рис. 171) есть прямая, по которой плоскость пересекается с плоскостью (проведенной через перпендикулярно Плоскость принадлежит пучку с осью и представляется уравнением вида

Рис. 171

Чтобы найти представим (11) в виде

и запишем условие перпендикулярности плоскостей (10) и (11а):

Отсюда Подставляя в (11а), получим уравнение плоскости Искомая проекция представляется уравнениями