§ 116. Смешанное произведение
Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов 
(взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение 
т. е. число 
или, что то же, 
Обозначение: 
Признак компланарности. Если система 
— правая, то 
если левая, то 
Если же векторы 
компланарны (§ 115), то 
Иными словами, обращение в нуль смешанного произведения 
есть признак компланарности векторов 
Геометрический смысл смешанного произведения. Смешанное произведение 
трех некомпланарных векторов 
равно объему параллелепипеда, построенного на векторах 
взятому со знаком плюс, если система 
— правая, и со знаком минус, если эта система левая.
Пояснение. Построим (рис. 160, 161) вектор
Тогда площадь основания 
равна
Высота 
(длина вектора 
взятая со знаком плюс или минус, есть (§ 92, п. 2) алгебраическая проекция вектора с по направлению 
т. е.
Знак плюс берется, когда 
и 
равнонаправлены (см. рис. 160), а это будет в случае правой системы 
Знак минус отвечает левой системе (см. рис. 161). Из формул (2) и (3) получаем:
но 
есть скалярное произведение 
с (§ 104), т. е. 
Значит,
Рис. 160
Рис. 161
