§ 434. Дифференцируемые функции

Функция имеющая в точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Дифференцируемая функция всегда обладает конечными частными производными и частными дифференциалами

сумма последних дает полный дифференциал (§ 430).

Но существование частных дифференциалов (или конечных частных производных) не обеспечивает существования полного дифференциала.

Пример. Рассмотрим функцию определяемую в точке формулой

а в остальных точках — формулой

Эта функция непрерывна в точке и имеет здесь частные производные

Но выражение не является полным дифференциалом. Действительно, полное приращение имеет вид

Первый член не является полным дифференциалом, так как и второй член имеет высшего порядка относительно

т. е. отношение не стремится к нулю при Так, если стремится к по лучу то сохраняет значение

Другой пример недифференцируемой функции рассмотрен в § 442 (пример 2).

Замечание 1. Если все частные производные непрерывны в рассматриваемой точке, то функция дифференцируема в этой точке. В предыдущем примере обе частные производные были разрывны в точке

Замечание 2. Элементарные функции, как правило, дифференцируемы. Дифференцируемость нарушается лишь в отдельных точках или вдоль отдельных линий.