§ 267. Раскрытие неопределенности вида 0/0

Если какая-либо функция не определена в точке но обладает пределом при то нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности.

В частности, раскрытием неопределенности вида называют нахождение предела отношения , где функции бесконечно малы при

Правило Лопиталя. Для нахождения предела отношения двух функций, бесконечно малых при а (или при ), можно рассматривать отношение их производных Если оно стремится к пределу (конечному или бесконечному), то к тому же пределу стремится и отношение

Пример 1. Найти

Функции бесконечно малы при Рассмотрим отношение Оно стремится при Согласно правилу Лопиталя к тому же пределу стремится . Действительно,

Если не только функции но и их производные бесконечно малы при то для нахождения предела можно повторно применить правило Лопиталя.

Пример 2. Найти

Числитель и знаменатель бесконечно малы. По правилу Лопиталя

Здесь числитель и знаменатель снова бесконечно малы. Применяем правило Лопиталя повторно:

Пример 3. Найти

Последовательно применяя правило Лопиталя, мы дважды получим отношение бесконечно малых величин

В третий раз получим отношение

При оно имеет предел 2. Значит,

Замечание 1. Теоретически не исключена возможность, что все производные обеих функций будут бесконечно малы. На практике такие случаи не встречаются.

Применение правила Лопиталя бывает полезно комбинировать с преобразованиями, упрощающими нахождение предела.

Пример 4. Найти

Следуя правилу Лопиталя, ищем предел отношения

Здесь бесконечно малы, но искать нецелесообразно. Лучше преобразовать к виду заметив, что искать По правилу Лопиталя этот предел равен

Можно с самого начала заменить эквивалентной бесконечно малой Тогда

Повторное применение правила Лопиталя дает:

Замечание 2. Может случиться так, что отношение при а (или ) не имеет предела. В таких случаях отношение может тоже не иметь предела, но может и иметь. Так, если то отношение при не имеет предела. Однако отношение

при стремится к единице.