§ 301. Интегрирование по частям

Всякое подынтегральное выражение можно бесчисленными способами представить в виде и функции переменной интегрирования).

Интегрированием по частям называется сведение данного интеграла к интегралу с помощью формулы

Этот прием ведет к цели, если находится легче, чем (примеры 1—4) или если один из этих интегралов выражается через другой (пример 5).

Пример 1. .

Представляем подынтегральное выражение в виде Здесь роль и играет роль функция Применяем формулу (1):

Интеграл табличный. Вычисление ведется так:

Замечание 1. Если подынтегральное выражение представить в виде т. е. взять , то по формуле (1) получим:

Интеграл не легче исходного.

Выражение можно представить в виде бесчисленными способами, беря за и какую угодно функцию. Так, если взять то Тогда , т.е. Но формула (1) снова приведет к интегралу, который сложнее исходного.

Прежде чем интегрировать по частям, надо в уме прикинуть, что может дать тот или иной выбор функции

Пример 2.

Здесь хорошо представить подынтегральную функцию в виде Формула (1) (при ) дает:

Интеграл равен так что

Пример 3.

Имеем:

Пример 4.

Имеем:

К полученному интегралу вновь применяем интегрирование по частям (см. пример 3). Окончательно получаем:

Пример 5.

Представим подынтегральное выражение в виде

Полученный интеграл не проще исходного, но его можно выразить через исходный. Для этого снова интегрируем по частям:

Подставляя (3) в (2), получаем уравнение

из которого находим неизвестное

где С обозначает

Замечание 2. Можно представить подынтегральное выражение в виде Тогда и при втором интегрировании надо будет новое выражение представить в виде (а не в виде ), иначе уравнение для определения обратится в тождество.