М гиперболы аналогично линиям синуса, косинуса и тангенса; ср. рис. 418) к полуоси а выражаются через s следующим образом:
Возьмем теперь вместо гиперболы (1) окружность (см. рис. 418)
Если сохранить прежние обозначения, то взятая с надлежащим знаком величина (s - площадь кругового сектора MONA) даст угол 
так что вместо (2) придется записать:
Сравнение формул (2) и (2а) объясняет наименования гиперболический синус, гиперболический косинус, гиперболический тангенс.
Рис. 418
площадь гиперболического сектора 
и припишем величине 
(т. е. площади двойного сектора 
) тот знак, который имеет угол поворота от ОХ к 
Тогда отношения направленных отрезков 
(построенных для точки
