§ 374. Признак Даламбера для положительного ряда

Теорема. Пусть в положительном ряде

отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел . Возможны три случая.

Случай 1. Тогда ряд сходится.

Случай 2. Тогда ряд расходится.

Случай 3. Тогда ряд может сходиться, а может и расходиться.

Эту теорему называют признаком Даламбера.

Пример 1. Рассмотрим положительный ряд

Вначале наблюдается возрастание членов Однако ряд сходится, так как а предел этого отношения равен 0,8, т. е. меньше чем 1.

Пояснение. Пусть для некоторого положительного ряда предел отношения равен 0,8. Тогда с некоторого номера отношение отличается от 0,8 менее, чем на ±0,1. Значит, оно будет оставаться меньшим, чем 0,9, так что

и т. д. Сравнение ряда с рядом (убывающая геометрическая прогрессия) показывает (§ 373), что данный ряд сходится.

Вместо 0,9 можно взять любое число, лежащее между 0,8 и 1. (Если взять единицу или большее число, то рассуждение потеряет силу.)

По такому же плану ведется общее доказательство теоремы для случая

Пример 2. Рассмотрим положительный ряд

Начальные члены убывают, но ряд расходится, так как предел отношения

равен 1,1, т. е. больше чем 1.

Пояснение. Так как то с некоторого номера отношение больше чем 1,09. Сравнивая ряд с расходящимся рядом и рассуждая так же, как и в предыдущем пояснении, мы докажем (§ 373), что данный ряд расходится.

Вместо 1,09 можно взять любое число между 1,1 и 1 (но не единицу).

По такому же плану ведется общее доказательство теоремы для случая

Пример 3. Рассмотрим ряды

Для обоих имеем

Но ряд (4) расходится (§ 369), а (5) сходится (§ 373).

Замечание. В случае сходимость тем быстрее, чем меньше . В случае расходимость тем быстрее, чем больше . В случае ряд, если сходится, то медленно, и потому мало подходит для вычислений.