§ 393. Промежуток и радиус сходимости степенного ряда

1. Может случиться так, что степенной ряд расходится во всех точках, кроме Таков, например, ряд

у которого общий член неограниченно увеличивается по абсолютному значению, начиная с момента, когда становится больше единицы. Такие степенные ряды практического значения не имеют.

2. Степенной ряд может сходиться во всех точках. Таков, например, ряд

сумма которого при всяком значении равна (§ 272, пример 1).

3. В типичном случае степенной ряд сходится в одних точках и расходится в других.

Пример 1. Геометрическая прогрессия

сходится при и расходится при Здесь областью сходимости (§ 384) является промежуток из которого исключены оба конца Сумма ряда (1) (в области сходимости) есть

Пример 2. Степенной ряд

сходится при и расходится при (ср. § 374, пример 2). Область сходимости — промежуток в который включены оба конца Сумма ряда (2) не выражается через элементарные функции.

Пример 3. Степенной ряд

сходится при и расходится при При он также расходится (§ 369, пример 3), при сходится (§ 369, пример 4). Область сходимости — промежуток включая точку точка исключается.

Сумма ряда (3) (в области сходимости) есть (§ 272, пример 2). Ряд (3) получается почленным интегрированием ряда

Теорема. Область сходимости степенного ряда

есть некоторый промежуток симметричный относительно точки Иногда в него надо включить оба конца иногда только один, а иногда надо оба конца исключить.

Промежуток называется промежутком сходимости, положительное число радиусом сходимости степенного ряда. Если степенной ряд сходится только в точке то . В примерах 1—3 радиус сходимости равен единице. Если ряд сходится во всех точках, то говорят, что радиус сходимости равен бесконечности