§ 436. Уравнение касательной плоскости

1. Касательная плоскость к поверхности представляется уравнением

где текущие координаты; координаты точки касания; соответствующие значения частных производных

Пояснение. Плоскость (1) проходит через прямую

в чем убеждаемся подстановкой в уравнение (1). Прямая касательная к сечению, проведенному через точку параллельно плоскости (§ 426). Так же убеждаемся, что плоскость (1) проходит через касательную к сечению, параллельному Значит (§ 435), плоскость (1) совпадает с касательной плоскостью (если последняя существует; ср. § 435, замечание).

Пример 1. Найти уравнение касательной плоскости гиперболического параболоида в точке .

Решение. Имеем:

Уравнение искомой касательной плоскости есть

или .

2. Если поверхность представляется уравнением вида то касательная плоскость представится уравнением

Уравнение (1) — частный вид уравнения (2).

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости эллипсоида

в точке .

Решение. Имеем:

Искомое уравнение есть

или, сокращая на 2 и учитывая уравнение эллипсоида,

Замечание. Уравнение касательной плоскости проще всего получается из уравнения данной поверхности следующим образом: данное уравнение дифференцируем и вместо пишем Так, дифференцируя уравнение (3), получаем:

Заменив дифференциалы разностями получаем уравнение (4).