§ 309. Об интегрируемости в элементарных функциях

Интеграл рациональной функции, как правило, не является рациональной функцией например, Подобным же образом интеграл элементарной (нерациональной) функции, как правило, не является элементарной функцией. Так, интегралы

не выражаются элементарными функциями, хотя сходные на вид интегралы

являются элементарными функциями.

По правилам дифференциального исчисления можно для любой элементарной функции найти ее производную (также элементарную). В интегральном исчислении подобные правила для нахождения первообразной принципиально невозможны.

Но для некоторых классов элементарных функций интеграл всегда является функцией элементарной (хотя подчас имеет сложное выражение). В § 307 был изучен один такой класс (рациональных функций). В §§ 310—313 рассмотрены другие важные классы и указаны общие правила для вычисления их интегралов. Впрочем, во многих случаях предпочтительны частные приемы. Они подсказываются навыком.