§ 278. Правило нахождения максимумов и минимумов

Пусть функция дифференцируема в промежутке Чтобы найти все ее максимумы и минимумы в этом промежутке, надо:

1. Решить уравнение (корни этого уравнения называются критическими значениями аргумента; среди них надо будет искать значения дающие экстремум функции ; см. § 276).

2. Для каждого критического значения исследовать, меняет ли знак производная при переходе аргумента через это значение. Если переходит от положительных значении к отрицательным (при переходе от то имеем максимум (§ 277), если от отрицательных значении к положительным, то минимум.

Если же сохраняет знак, то нет ни максимума ни минимума: при функция в точке а возрастает, при убывает (§ 277, замечание).

(см. скан)

Замечание 1. Если функция непрерывна в промежутке но в отдельных его точках не дифференцируема, то эти точки надо причислить к критическим и произвести аналогичное исследование.

Замечание 2. Максимумы и минимумы непрерывной функции следуют друг за другом, чередуясь.

Пример 1. Найти все максимумы и минимумы функции .

Решение. Данная функция всюду дифференцируема (т. е. всюду имеет конечную производную)

1. Решаем уравнение Оно имеет единственный корень

2. Производная меняет знак при переходе аргумента через значение Именно, при производная положительна, при отрицательна. Значит, критическое значение дает максимум. Других экстремумов у функции нет (см. рис. 265).

Пример 2. Найти все максимумы и минимумы функции

Решение. Данная функция всюду дифференцируема. Имеем:

1. Решаем уравнение Его корни (расположенные в порядке возрастания) будут:

2. Представив производную в виде

исследуем каждое из критических значений.

При все три двучлена формулы (3) отрицательны, так что слева от имеем:

Пусть аргумент перешел через значение , но не дошел до следующего критического значения

Тогда двучлен стал положителен, а два других двучлена формулы (3) остаются отрицательными, и мы имеем:

Сравнив (4) и (5), видим, что при переходе через критическое значение производная не меняет знака, оставаясь положительной. Значит, в точке экстремума нет; здесь функция возрастает (рис. 277).

Исследуем ближайшее большее критическое значение . В достаточной близости слева (т. е. между производная в силу (5) положительна. В достаточной близости справа между второй сомножитель положителен, и мы имеем:

Сравнив (5) и (6), видим, что знак производной при переходе через меняется с плюса на минус (функция от возрастания переходит к убыванию). Значит, в точке функция имеет максимальное значение; оно равно

Исследуем последнее критическое значение . В достаточной близости слева производная в силу (6) отрицательна. Справа от имеем:

При переходе через производная меняет знак с минуса на плюс (функция переходит от убывания

Рис. 277

к возрастанию). Значит, при функция имеет минимальное значение; оно равно

Пример 3. Найти все экстремумы функции

Решение. Данная функция дифференцируема при всех положительных и отрицательных значениях и мы имеем:

В точке же функция не дифференцируема (ее производная бесконечна). Поэтому (см. замечание 1) имеем два критических значения: . При имеем:

При имеем:

При имеем:

Значит, в точке функция имеет максимальное значение

а в точке минимальное значение