§ 350. Длина дуги пространственной линии

Длина дуги пространственной линии выражается интегралом

или

Дифференциал дуги равен (ср. § 339)

Пример 1. Найти длину одного витка винтовой линии.

Решение. Формула (2) с учетом формул (3) § 349 дает:

т. е. длина одного витка винтовой линии равна гипотенузе треугольника, один катет которого равен длине окружности основания, а другой шагу винтовой линии (ср. § 349, замечание).

Если начальная точка дуги неподвижна, а конечная меняется, то длина дуги есть функция параметра значит (§ 348), сама может быть принята за параметр.

Пример 2. Написать уравнения винтовой линии, приняв за параметр длину дуги, отсчитываемую от начальной точки

Решение. Так же, как и в примере 1, находим:

Выражая через и подставляя в (3) § 349, получаем: