§ 190. Два уравнения с двумя неизвестными

Рассмотрим систему

Введем обозначения

Определитель получается из А заменой элементов первого столбца свободными членами. Аналогично получаются

Если бы оказалось, что в определителе А соответствующие элементы каких-либо двух строк, скажем первой и второй, пропорциональны, то уравнения (1) и (2) либо были бы несовместны (§ 188, случай 2), либо сводились бы к одному уравнению (§ 188, случай 3). В первом случае данная система не имеет решений, во втором — вместо данной системы получаем систему двух уравнений (1) и (3) (она в свою очередь может свестись к одному уравнению). Так как все это уже рассмотрено в § 188, то можно ограничиться предположением, что в определителе А нет ни одной пары строк с пропорциональными элементами (среди трех плоскостей (1), (2), (3) нет ни одной пары параллельных).

В этом предположении возможны три случая.

Случай 1. Определитель системы неравен нулю:

Система имеет единственное решение:

(Три плоскости пересекаются в одной точке.)

Случай 2. Определитель системы равен нулю: при этом один из определителей не равен нулю, тогда и два других определителя не равны нулю:

В этом случае система не имеет решений.

(Равенство означает, что нормальные векторы плоскостей (1), (2), (3) компланарны, значит, все три плоскости параллельны одной прямой. В рассматриваемом случае три плоскости образуют призматическую поверхность (рис. 202).)

Случай 3. В этом случае одно из трех уравнений (любое) является следствием двух других. Система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений (§ 188, случай 1; случаи 2 и 3 не возможны в силу сделанного выше предположения).

(Три плоскости, как и в предыдущем случае, параллельны одной прямой, но теперь они образуют пучок; рис. 203.)

Пример 1. Решить систему

Рис. 202

Рис. 203

Здесь

Система имеет единственное решение:

Пример 2. Решить систему

Здесь

При

(определители нет необходимости вычислять). Система не имеет решений. Это видно и непосредственно: сложив почленно первые два уравнения, получим т. е. что противоречит третьему уравнению.

Пример 3. Решить систему

Здесь

При этом

Определители заведомо равны нулю.

Данная система сводится к системе двух уравнений (любая пара из трех данных, третье является следствием) и имеет бесчисленное множество решений. Произвольное значение можно дать одному неизвестному или одному неизвестному (но не ; см. § 188, случай 1).

Возьмем первое и третье уравнения и решим их относительно Имеем:

Отсюда

Замечание. Если система трех уравнений с тремя неизвестными однородна то второй случай невозможен. В первом случае единственное решение будет (плоскости пересекаются в начале координат). В третьем случае, взяв любые два уравнения системы, скажем (1) и (2), находим все решения данной системы по формулам (3) § 189 (три плоскости образуют пучок, ось которого проходит через начало координат).

Пример 4. Решить систему

Здесь .

Одно из уравнений есть следствие двух других. Произвольное значение можно дать одному из неизвестных (любому). Взяв первое и третье уравнения, находим по формулам (3) § 189: