§ 486. Линейное уравнение первого порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка
называется линейным, если отношение 
содержит y лишь в первой степени («линейно»). Линейное уравнение принято записывать в виде
здесь 
какие угодно (непрерывные) функции х.
Если, в частности, 
то уравнение (2) называется линейным уравнением без правой части. В этом случае переменные разделяются, и общее решение имеет вид
Пример 1. Найти общее решение линейного уравнения без правой части
Решение. Разделяя переменные, получаем:
откуда
или
где 
Тот же результат мы получили бы по формуле (3) (при 
).
Замечание 1. Частное решение 
получаемое из (6а) при 
нельзя получить из (6); это решение потерялось при делении уравнения (4) на у. Освободившись от логарифмов, входящих в (6), мы снова ввели решение у = 0. Ср. § 484, пример 1.
Замечание 2. На практике применение готовой формулы (3) не дает существенного преимущества перед последовательными преобразованиями, показанными в примере 1.
Линейное уравнение с правой частью (в нем 
) интегрируется следующим образом: находим общее решение (3) соответствующего уравнения без правой части; в этом решении заменяем постоянную С неизвестной функцией и. Полученное выражение подставляем в (2). После упрощений переменные 
разделяются, и, интегрируя, мы найдем выражение и через 
Функция 
будет общим решением уравнения (2).
Пример 2. Найти общее решение уравнения
Решение. Общее решение соответствующего уравнения без правой части есть (см. пример 1) 
Заменяя постоянную С неизвестней функцией и, получаем:
откуда
Подставляем (8) и (9) в (7). После упрощений находим:
Отсюда получаем выражение и через х:
В силу (8) и (10) общее решение данного уравнения будет:
Замечание. Аналогично интегрируется уравнение
получаемое из (2), если поменять ролями х и у.
