§ 56. Диаметры гиперболы

Все диаметры гиперболы проходят через ее центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси (рис. 78), есть действительная ось (геометрическое место середин хорд есть пара лучей и диаметр, соответствующий хордам, параллельным действительной оси

Рис. 78

Рис. 79

(рис. 79), есть мнимая ось (середины хорд заполняют ось целиком).

Для гиперболы, как и для эллипса, угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент соответствующего диаметра связаны соотношением

Но соотношение (1а) § 55 заменяется соотношением

Пример 1. Диаметр гиперболы (рис. 80), соответствующий хордам с угловым коэффициентом представляется уравнением значение определяется из соотношения так что уравнение диаметра есть .

Пример 2. Диаметр (см. рис. 80) той же гиперболы, соответствующий хордам с угловым коэффициентом представляется уравнением .

Рис. 80

Если диаметр делит пополам хорды, параллельные диаметру , то диаметр всегда делит пополам хорды, параллельные диаметру Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

У всякой гиперболы есть лишь одна пара главных сопряженных и вместе с тем взаимно перпендикулярных) диаметров — действительная и мнимая оси.

Если угловой коэффициент параллельных хорд по абсолютному значению больше, чем угловой коэффициент асимптоты, т. е.

(см. пример 1, где ), то геометрическое место середин хорд есть пара лучей и Если же

(см. пример 2), то середины хорд заполняют диаметр ( на рис. 80) целиком. Из двух сопряженных диаметров один всегда принадлежит к первому типу, другой — ко второму. Замечание 1. Угловой коэффициент параллельных хорд не может по абсолютному значению равняться так как прямые (асимптоты) не пересекают гиперболы, а прямые, параллельные асимптоте, пересекают гиперболу лишь в одной точке.

Угловые коэффициенты неглавных сопряженных направлений имеют согласно соотношению (16) одинаковые знаки, т. е. два сопряженных диаметра гиперболы принад лежат одной и той же паре вертикальных углов, образованных осями.

Напротив, по отношению к асимптотам два сопряженных диаметра принадлежат различным парам вертикальных углов.

Замечание 2. При вращении диаметра гиперболы сопряженный диаметр вращается в противоположную сторону. При этом, когда неограниченно приближается к одной из асимптот, неограниченно приближается к той же асимптоте. Поэтому об асимптоте говорят, что она является диаметром, сопряженным самому себе. Это выражение условно, так как асимптота не является диаметром (ср. замечание 1). Кроме асимптот, всякая другая прямая, проходящая через центр гиперболы, является одним из ее диаметров.