§ 275. Максимум и минимум

Определение. Говорят, что функция имеет максимум в точке если в достаточной близости от этой точки всем значениям (как большим, так и меньшим а) соответствуют значения меньшие чем

Функция имеет минимум в точке если в достаточной близости от этой точки всем значениям соответствуют значения большие чем

Короче: функция имеет максимум (минимум) в точке если значение больше (меньше) всех соседних значений.

Максимум и минимум объединяются наименованием экстремум.

Пример. Функция имеет максимум в точке точка выше всех соседних и минимум в точке (точка ниже всех соседних).

Замечание. В обыденной речи выражения «максимум» и «наибольшее значение» равнозначны. В анализе термин «максимум» имеет более узкий смысл. Именно максимум функции может и не быть ее наибольшим значением. Так, функция (см. рис. 267), рассматриваемая, скажем, в промежутке имеет в точке максимум, так как вблизи от этой точки (а именно в промежутке всем значениям соответствуют значения меньшие, чем т. е. чем (в указанном промежутке график расположен ниже точки А). Тем не менее максимум не является наибольшим значением функции в промежутке так как при имеем:

(справа от С график расположен выше точки А). Однако нахождение наибольшего значения функции в данном промежутке тесно связано с нахождением ее максимумов (см. § 280).

Аналогичное замечание для минимума.

Рис. 267