§ 381. Умножение рядов

Теорема. Два абсолютно сходящихся ряда

можно перемножить, как многочлены. Каждый член ряда (1) умножается на каждый член ряда (2) и произведения складываются в любом порядке. Получим абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна

Замечание 1. Чтобы в ряде (3) ни один член не был повторен дважды или опущен, рекомендуется группировать члены с одной и той же суммой индексов (эту сумму называют весом члена Тогда ряд получает вид

где

Эта группировка соответствует умножению по схеме:

Пример 1. Рассмотрим два абсолютно сходящихся ряда:

Перемножая их по схеме (6), находим:

Закон составления полученного ряда выражается формулами .

Опуская нули, получаем абсолютно сходящийся ряд

Его сумма есть произведение сумм рядов (7) и (8). Это легко проверить, так как сумма прогрессии (7) равна 2, сумма прогрессии (8) есть а сумма прогрессии (10) есть .

Пример 2. Ряд

абсолютно сходится (по признаку Даламбера). Найти его сумму.

Решение. Искомая сумма есть произведение сумм двух одинаковых абсолютно сходящихся рядов

Действительно, по схеме (6) получаем:

Значит, сумма ряда (11) равна

Замечание 2. Если один из рядов (1), (2) сходится абсолютно, а другой — условно, то ряд (4), найденный по схеме (6), — сходящийся, и его сумма по-прежнему равна Но он может оказаться условно сходящимся; тогда не всякая перестановка членов допустима (§ 379).

Если оба ряда (1), (2) сходятся условно, то ряд (4) может оказаться расходящимся. Но если он сходится, то его сумма равна