§ 493. Уравнение второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков:

Уравнение, разрешенное относительно имеет

Предполагается, что функция трех аргументов х, у, у однозначно определена и непрерывна в некоторой области изменения этих аргументов.

Как правило, задание начальных значений (принадлежащих рассматриваемой области) определяет одно-единственное решение уравнения (2).

Геометрически: через данную точку в данном направлении проходит одна-единственная интегральная линия.

Соответствующее решение уравнения (2) называется частным. Совокупность всех частных решений называется общим решением. Общее решение стараются представить в виде некоторой функции

которая дала бы любое частное решение (при надлежаще выбранных значениях

Замечание. Через данную точку проходит бесчисленное множество интегральных линий — в каждом из возможных направлений по одной.

Пример. При начальных значениях найти частное решение уравнения

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Учитывая начальные условия, имеем: т. е. Снова учитывая начальные

условия, получаем: Искомое частное решение есть

Другой способ. Из (5) находим:

а отсюда

Функция (8) представляет общее решение, так как при надлежаще взятых значениях она дает любое частное решение. Так, подставив в (7) и (8) данные начальные значения, будем иметь:

откуда найдем:

Подставив эти значения в (8), снова получим частное решение (6).

Предостережение. Далеко не всякое решение, содержащее две произвольные постоянные, является общим. Например, функция

есть решение уравнения (4), но содержит не все частные решения; так, из (10) ни при каких значениях не получается решение (6). Следовательно, решение (10) — не общее. Это видно уже из того, что две постоянные «не являются существенными», т. е. их можно заменить одной. В самом деле, формулу (10) можно записать в виде

Обозначив через получим:

это решение получается из общего решения (8) при