§ 391. Дифференцирование рядов

Даже при равномерной сходимости ряда почленное его дифференцирование не всегда допустимо. Нижеследующая теорема дает признак, обеспечивающий возможность почленного дифференцирования. Теорема. Если функциональный ряд

сходится в промежутке и производные его членов непрерывны в этом промежутке, то ряд (1) можно почленно дифференцировать при условии, что полученный ряд

будет равномерно сходящимся в данном промежутке. Сумма ряда (2) будет производной суммы ряда (1).

Доказательство основано на взаимной обратности дифференцирования и интегрирования и опирается на теорему § 390.

Пример. Ряд

сходится в промежутке где правильная дробь. При этом

Производные членов непрерывны в промежутке и составленный из них ряд

равномерно сходится в этом промежутке (§ 390, пример 1). Следовательно, сумма ряда (5) есть производная суммы ряда (3):

Замечание 1. В теореме не высказано требование того, чтобы ряд (1) сходился равномерно. При условиях теоремы это требование само собой выполняется (в силу теоремы § 390).

Замечание 2. Даже при равномерной сходимости ряда (1) и непрерывности производных ряд (2) может оказаться неравномерно сходящимся и тогда его сумма иногда равна, а иногда не равна производной суммы ряда (1). Более того, ряд (2) может оказаться расходящимся. Так, ряд

сходится равномерно на всей числовой прямой (ср. пример § 388), тогда как ряд производных

расходится при (а также для бесчисленного множества значений х).