§ 306. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби, приводящиеся к следующим двум типам:

I. (n - натуральное число);

II. (n — натуральное число),

где не разлагается на действительные множители первой степени т. е. если же разлагается на действительные множители

первой степени (т.е. ), то дробь II не считается простейшей.

Дроби — простейшие первого типа, дроби простейшие второго типа. Дроби — не простейшие, так как выражения разлагаются на действительные множители первой степени.

Дробь — простейшая, так как ее можно привести к виду Дробь простейшая, так как она вида II.

А. Простейшие дроби первого типа интегрируются по формулам

Б. Простейшие дроби второго типа в случае интегрируются до конца подстановкой

приводящей знаменатель

к виду .

Пример 1.

Подстановка преобразует интеграл к виду

Возвращаясь к аргументу получаем:

Формула (запоминать ее не надо) имеет вид

В. Простейшие дроби второго типа в случае интегрируются той же подстановкой

Она преобразует интеграл к виду

Первое слагаемое интегрируется сразу через вспомогательную функцию

Второе слагаемое вычисляется тригонометрической подстановкой (§ 303, пример 2) или по формуле приведения

(ее можно проверить дифференцированием). Она сводит интеграл к интегралу того же типа, но показатель в знаменателе уменьшается на единицу. Повторяя процесс, придем в конце концов к интегралу

Пример 2.

Подстановка приводит интеграл к виду

Первый член равен

Постоянную С опускаем, относя ее ко второму члену, который вычислим по формуле (5) (полагая в ней

Применяем повторно формулу (5), полагая

Из формул (6)-(9) находим:

Возвращаясь к переменной , получаем: