§ 483. Разделение переменных. Особое решение

Уравнение вида где функции зависят только от а функции только от приводится к виду (1) § 482 делением на Процесс приведения называется разделением переменных.

Пример 1. Рассмотрим уравнение

Разделив на получаем уравнение

где переменные разделены. Интегрируя, находим:

т. е.

или

Если ввести новую постоянную связанную с C зависимостью то вместо (4а) можно записать:

(ср. пример 2 § 479).

Замечание 1. Пусть значениеу является корнем уравнения Тогда функция (сводящаяся к постоянной величине является одним из решений дифференциального уравнения (так как при имеем и по условию Это решение может потеряться при делении на Точно так же может потеряться решение вида где I — корень уравнения Так, в примере 1, получив решение (4), мы потеряли частное решение дифференциального уравнения (1), а также частное решение Ведь равенство (4) не имеет смысла как при так и при (число нуль не имеет логарифма).

Освободившись в равенстве (4а) от логарифмов, мы снова ввели решение (при ).

Пример 2. Найти все решения уравнения

Решение. В пределах полосы, ограниченной парой прямых по меньшей мере одна из функций однозначно определена и непрерывна. За пределами этой полосы ни одна из упомянутых функций не определена. Значит (§ 478), все интегралы уравнения (5) лежат в полосе, ограниченной прямыми

Делим уравнение (5) на Получаем уравнение

где переменные разделены. Интегрируя, находим

или

Это уравнение представляет семейство полуокружностей, изображенное на рис. 474. Но оно содержит не все интегральные линии уравнения (5): разделив последнее на мы потеряли решения (прямые на рис. 474).

Замечание 2. Потерянные здесь решения не являются частными (в противоположность решениям, потерянным в примере 1). Ведь частным решением мы назвали такое (§ 481), которое единственно при некоторых начальных значениях. Между тем через каждую точку решения проходит по два решения; например, через точку (см. рис. 474), кроме прямой проходит полуокружность которая изображает еще одно решение уравнения (5); это решение получается из (6) при

Уравнение (6), хотя оно не охватывает всех решений, содержит все частные решения (полуокружности), и потому является общим интегралом уравнения (5). Решения называются особыми.

Вообще интеграл дифференциального уравнения первого порядка называется особым, если через каждую его точку проходит по крайней мере еще один интеграл.

Рис. 474