ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЛИНИЯХ

§ 342. Кривизна

Пусть при переходе от точки линии к точке (рис. 377) касательная, направленная в сторону движения, переходя из положения в положение поворачивается на угол Отношение угла к длине дуги характеризует искривленность линии на участке и называется средней кривизной дуги Угол со принято измерять в радианах.

Средняя кривизна любого отрезка прямой линии (ее касательная совпадает с самой прямой) равна нулю, средняя кривизна любой дуги окружности радиуса R равна .

Размерность средней кривизны обратна размерности длины, т. е. при изменении масштаба числовая мера кривизны меняется обратно пропорционально числовой мере длины отрезков.

Определение. Кривизной линии в точке называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги когда точка стремится к Кривизна обозначается буквой К:

Кривизна характеризует искривленность линии в рассматриваемой точке. Кривизна прямой всюду равна

Рис. 377

нулю, кривизна окружности радиуса всюду равна Для любой другой линии кривизна меняется от точки к точке. В отдельных точках она может равняться нулю; такие точки называются точками спрямления. Вблизи точки спрямления кривая похожа на прямую.

Замечание. Кривизну (если она не равна нулю) мы считаем величиной положительной. Кривизне плоской линии можно приписать знак, пространственной — нельзя (см. § 364).