§ 476. Другая форма условия предыдущего параграфа

Теорема 1 (признак полного дифференциала). Если равенство

удовлетворяется тождественно в области то для каждой точки этой области выражение является полным дифференциалом некоторой функции Если же равенство (1) не является тождеством, то выражение не является полным дифференциалом ни для какой функции.

Пример 1. Для выражения (здесь равенство (1) удовлетворяется тождественно во всякой области. Поэтому есть полный дифференциал некоторой функции . В данном случае можно взять или и вообще

Пример 2. Выражение не может быть полным дифференциалом ни для какой функции, так как равенство (1), принимающее вид не является тождеством.

Пояснение. Допустим, что есть дифференциал некоторой функции Тогда мы имели бы:

Но это невозможно, так как смешанные производные — (они непрерывны) должны быть равны (§ 443), т. е. должно тождественно удовлетворяться равенство а этого нет.

В силу теоремы 1 условие § 475 принимает следующий вид.

Случай 1 (исключительный). Выражение является (в данной области) полным дифференциалом некоторой функции (она называется первообразной). Тогда криволинейный интеграл не зависит от выбора пути (пролегающего в данной области).

Случай 2 (общий). Выражение не является полным дифференциалом. Тогда криволинейный интеграл зависит от выбора пути.

В первом случае, зная первообразную, можно вычислить значение интеграла, опираясь на следующую теорему.

Теорема 2. Если подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции , то криволинейный интеграл разности между значениями функции в точках В и А:

Пример 3. Интеграл при фиксированных точках не зависит от выбора пути как . Требуется найти значение

Решение. Выражение есть полный дифференциал функции По теореме 2 имеем:

Замечание. Найти первообразную в общем случае столь же трудно, как и непосредственно вычислить криволинейный интеграл.

Но во многих случаях нахождение первообразной упрощается. Так, если каждая из функций Q(x, у) есть сумма членов вида (А — постоянная, тип — любые действительные числа), то первообразную находим следующим образом. Вычисляем неопределенные интегралы считая постоянной у в первом интеграле их — во втором. Полученные два выражения объединяем, причем каждый из членов, входящих в оба выражения, берем один раз. Произвольные постоянные, появляющиеся при интегрировании, можно опустить, так как достаточно иметь одну первообразную.

Пример 4. Найти криволинейный интеграл

(условие (1) выполнено)

Решение. Находим: (у считаем постоянным), считаем постоянным).

Объединяем эти выражения, причем член берем один раз. Получаем первообразную Формула (2) дает: