§ 221. Свойства функций, непрерывных на замкнутом промежутке

Пусть функция непрерывна на замкнутом промежутке Тогда она обладает следующими свойствами.

1. Среди значений, которые функция принимает в точках данного промежутка, имеется наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Среди значений, которые принимает функция в точках незамкнутого промежутка может не быть наибольшего или наименьшего.

Так, в незамкнутом промежутке функция не обладает ни наименьшим значением, ни наибольшим (она могла бы принять эти значения на концах но из незамкнутого промежутка концы исключены).

2. Если есть значение функции при значение при то функция принимает внутри промежутка по крайней мере по одному разу всякое значение заключенное между тип.

Геометрически: всякая прямая, проведенная параллельно оси абсцисс выше точки А, но ниже точки В

(рис. 222), встретит по крайней мере один раз график (на рис. 222 — три раза).

Замечание 2. Разрывная функция может не обладать свойством 2 (см. рис. 218 и 219).

2а. В частности, если на одном конце промежутка функция имеет положительное, а на другом — отрицательное значение, то внутри промежутка она по крайней мере один раз обращается в нуль.

Геометрически: если одна из точек (рис. 223) лежит выше оси а другая ниже, то график по крайней мере один раз встречает ОХ (на рис. 223 — два раза).

3. Если переменные изменяются так, что разность бесконечно малая, то разность тоже бесконечно малая.

Замечание 3. Если есть постоянная величина с, то разность является бесконечно малой по свойству 2 § 219. В силу свойства 3 настоящего параграфа при бесконечной малости разность бесконечно малая не только тогда, когда постоянна, но и тогда, когда переменна.

Замечание 4. При непрерывности функции в незамкнутом промежутке свойство 3 может не иметь места. Так, функция - непрерывна в промежутке (0, 1), лишенном конца Пусть изменяются так, что Тогда разность бесконечно малая, но разность бесконечно большая.

Рис. 222

Рис. 223