§ 334. Схема применения определенного интеграла

Определенным интегралом можно выразить многообразные геометрические и физические величины (см. §§ 335—338). При этом применяется следующая единообразная схема.

1. Искомая величина ставится в соответствие с промежутком изменения некоторого аргумента.

Так, чтобы выразить интегралом площадь под линией (рис. 362), мы ставим ее в соответствие с промежутком изменения абсциссы .

2. Промежуток разбивается на участки (в дальнейшем число участков будет стремиться к бесконечности, а длины их — к нулю).

Пусть искомая величина распадается на части (см. рис. 362), в сумме дающие

Величины, обладающие этим свойством, называются аддитивными. Бывают и неаддитивные величины. Так, угол между образующими конической поверхности — неаддитивная величина. Угол (рис. 363) можно поставить в соответствие с промежутком где дуги направляющей, отсчитываемые от какой-либо начальной точки Но если разбить на участки и то соответствующие углы и в сумме не дают угла

Аддитивную величину можно выразить интегралом, неаддитивную — нельзя.

3. В качестве типичного представителя частей берется одна из них она выражается (исходя из условий вопроса) приближенной формулой вида

причем погрешность должна иметь высший порядок относительно

Выражение или сокращенно

называется элементом величины

Рис. 362

Рис. 363

Элементом площади является площадь прямоугольника погрешность формулы (1) есть площадь треугольника заштрихованного на чертеже; она имеет высший порядок относительно (площадь KQL меньше площади а последняя имеет высший порядок относительно ).

4. Из приближенного равенства (1) вытекает точное равенство

Пояснение. С увеличением числа погрешность суммы

(несмотря на накопление ошибок) стремится к нулю, так как погрешности отдельных слагаемых убывают быстрее, чем возрастает число слагаемых. Поэтому есть предел суммы (4), т. е.

Рис. 364