§ 165. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми

Кратчайшее расстояние между прямыми и есть длина их общего перпендикуляра. Ее можно найти, составив уравнения общего перпендикуляра (§ 164, примеры 1 и 2). Но проще найти непосредственно.

1. Если прямые не параллельны (рис. 180), то

радиусы-векторы точек направляющие векторы прямых

Числитель дроби (1) есть объем параллелепипеда, построенного на векторах Знаменатель — площадь его основания (§ 111). Следовательно, вся дробь есть высота

Для пересекающихся прямых (векторы компланарны) формула (1) дает Для параллельных прямых (векторы коллинеарны) она непригодна дает

2. Если прямые параллельны (рис. 181), то

(вместо можно взять ).

Числитель дроби (2) есть площадь параллелограмма знаменатель — длина основания Вся дробь есть высота

Пример 1. Найти кратчайшее расстояние между прямыми примера 1 § 164 .

Решение. Данные прямые не параллельны. Имеем:

Рис. 180

Рис. 181

Формула (1) дает:

Пример 2. Найти кратчайшее расстояние между прямыми примера 2 § 164 .

Решение. Прямые параллельны; формула (2) дает:

Замечание. Кратчайшему расстоянию между прямыми (если они не перпендикулярны и не параллельны) можно приписать знак (см. § 165а).