§ 344. Формулы для кривизны, радиуса и центра кривизны плоской линии
Кривизна линии 
вычисляется по формуле
радиус кривизны — по формуле
координаты центра кривизны С — по формулам
Если 
то кривизна равна нулю, радиус кривизны бесконечен и центра кривизны нет. Так всегда бывает, например, в точках перегиба (ср. § 283).
Формулы (1)-(3) заменяются симметричными формулами, если линию задать параметрическими уравнениями 
Тогда
Штрихи обозначают дифференцирование по параметру 
Формулы (1)-(3) получаются из (I)-(III). Если положить 
(тогда 
Если же положить 
(тогда 
), т. е. если уравнение линии
взять в виде 
то вместо 
получим следующие формулы:
Существование производных 
в точке А данной линии обеспечивает существование кривизны в этой точке. Обратное предложение неверно: бывает и так, что при наличии кривизны в точке А производные 
(одна или несколько) не существуют. Тогда формулы 
не подходят, и это свидетельствует о неудачном выборе параметра. См. пример 1 (мелкий шрифт).
Пример 1. Найти кривизну, радиус и центр кривизны С в вершине 
параболы 
(см. рис. 381).
Решение. Проще всего принять за аргумент ординату у; из данного уравнения находим
В вершине параболы имеем
По формулам (1а)-(3а) находим
Радиус кривизны в вершине параболы равен ее параметру, т. е. фокус 
делит пополам отрезок 
Если принять за аргумент абсциссу 
параболы 
то вместо формул (4) получим (см. § 250)
В вершине параболы 
производные 
не существуют, поэтому формулы 
использовать непосредственно нельзя. Однако для всех остальных точек параболы
формулы (1)-(3) подходят, и после подстановки (7) они преобразуются так:
Если сюда подставить 
то снова получим значения (6). Смысл этой выкладки состоит в том, что мы нашли пределы, к которым стремятся величины 
когда точка параболы стремится к вершине последней.
Пример 2. Найти радиус и центр кривизны в вершинах эллипса с полуосями 
(рис. 382).
Решение. Проще всего воспользоваться параметрическими уравнениями эллипса (§ 252)
Из них находим:
По формулам 
и 
получаем:
В вершине 
где 
имеем:
В вершине 
где 
имеем:
Рис. 382
Замечание. Составив уравнение касательной к эллипсу (§ 252)
найдем, что расстояние от нее до центра (§ 28) равно
Сопоставив с (10), находим:
т. е. радиус кривизны эллипса обратно пропорционален кубу расстояния от центра до касательной в соответствующей точке. В частности, из (12) и (13) находим:
