§ 513. Логарифмическая спираль

1. Определение. Пусть прямая (рис. 496) равномерно вращается около неподвижной точки О (полюс), а точка движется вдоль удаляясь от О со скоростью, пропорциональной расстоянию Линия, описываемая точкой называется логарифмической спиралью.

2. Основное геометрическое свойство. Повороту прямой из любого ее положения на данный угол соответсвует одно и то же отношение полярных радиусов. Иначе говоря: если пара точек логарифмической спирали видна из полюса под тем же углом, что и другая пара точек той же спирали, то треугольники подобны.

Отношение конечного полярного радиуса к начальному при повороте прямой на угол будем называть коэффициентом роста логарифмической спирали.

Рис. 496

3. Правая и левая спирали. Если удаление точки от полюса О сопровождается вращением прямой против часовой стрелки, то логарифмическая спираль называется правой; в противном случае — левой. Для правой спирали коэффициент роста для левой При спираль вырождается в окружность.

Правую и левую спирали, у которых коэффициенты роста в произведении дают 1, можно совместить, но для этого надо лицевую сторону одной из них сделать оборотной.

4. Построение. Чтобы построить правую логарифмическую спираль с данным коэффициентом роста

делим какую-либо окружность с центром О на равных частей точками следующими друг за другом против часовой стрелки. Для определенности положим На луче берем произвольную точку и откладываем отрезок На отрезке как на диаметре, строим окружность О и проводим до пересечения с этой окружностью в точке К. Окружность радиуса пересечет луч в точке принадлежащей искомой спирали; та же окружность пересечет луч в некоторой точке Проводим до пересечения с окружностью О в точке К. Окружность радиуса О К пересечет луч в точке принадлежащей искомой спирали, а луч в некоторой точке Через нее опять проводим Таким образом получим точки

Бесчисленное множество других точек спирали, лежащих на прямых можно построить следующим образом. При точке строим угол равный углу в пересечении с лучом получаем точку искомой спирали. При точке строим в пересечении с лучом получим точку и т. д.

5. Уравнение в полярных координатах (полюс совпадает с полюсом спирали; полярная ось проведена через произвольно взятую точку спирали):

где полярный радиус точки коэффициент роста.

Пример. Спираль, построенная на рис. 496 представляется уравнением

Если за полярную ось принять луч то Полагая, в частности, получаем при имеем

Обычно уравнение (1) записывают в виде

где параметр, выражающийся через коэффициент роста так:

Обратно

Геометрический смысл параметра прочитывается из соотношения

где угол между прямой и касательной (см. рис. 497).

Для правых спиралей параметр имеет положительные значения, для левых — отрицательные.

6. Особенности формы. При неограниченном количестве оборотов прямой против часовой стрелки (по часовой стрелке) точка описывающая правую (левую) спираль, неограниченно удаляется от полюса и описывает бесконечное количество витков. При неограниченном количестве оборотов в противоположном направлении точка неограниченно приближается к полюсу О, но ни при каком положении прямой не совпадает с О. Таким образом спираль делает бесконечное множество витков также около полюса. Однако длина дуги, описываемой при этом точкой и отсчитываемой от некоторого начального положения точки хотя и возрастает, но не безгранично. Она стремится к некоторому пределу который называют

Рис. 497

длиной дуги Название это условно, так как точка О, строго говоря, не принадлежит логарифмической спирали.

7. Касательная и длина дуги. Угол на который надо повернуть прямую около точки логарифмической спирали (рис. 497), чтобы эта прямая совпала с касательной одинаков для всех точек спирали. Отрезок касательной от точки касания до пересечения с прямой проведенной через полюс О перпендикулярно полярному радиусу имеет ту же длину что и дуга спирали от точки до полюса О:

где полярный радиус

Длина любой дуги логарифмической спирали:

т. е. длина дуги пропорциональна разности полярных радиусов в ее концах. Чтобы построить отрезок той же длины, достаточно отложить на большем радиусе отрезок равный меньшему радиусу и провести через прямую перпендикулярную Она пересечет касательную в некоторой точке Отрезок искомый.

Угол а выражается через коэффициент роста формулой

Для спирали, изображенной на рис. 496, где имеем

8. Характеристический треугольник и секториальная площадь. Площадь, описываемая полярным радиусом (см. рис. 497), когда точка исходя из некоторого начального положения неограниченно приближается

по логарифмической спирали к полюсу О, стремится к конечному пределу S (секториальная площадь). Секториальная площадь в точке вдвое меньше площади характеристического треугольника образованного полярным радиусом перпендикулярной ему прямой и касательной

где полярный радиус точки .

Площадь любого сектора (предполагаем, что больший радиус и что по абсолютной величине не превосходит вдвое меньше площади трапеции (см. рис. 497), которая будет отсечена от характеристического треугольника если на отложить отрезок и провести

где полярные радиусы точек

9. Радиус и центр кривизны. Центр кривизны С, соответствующий точке логарифмической спирали (см. рис. 497), лежит в пересечении нормали проведенной через с прямой проведенной через полюс перпендикулярно полярному радиусу Радиус кривизны

Это равенство усматривается из треугольника

10. Эволюта. Геометрическое место центров кривизны С (эволюта) логарифмической спирали есть логарифмическая спираль, получаемая из исходной спирали поворотом около полюса на угол

где любое целое число. Так, если исходная спираль пересекает полярные радиусы под углом то она совмещается со своей эволютой при повороте около полюса на угол или или В частности, существует бесчисленное множество

логарифмических спиралей, которые сами являются своими эволютами. Это те спирали, для которых угол а удовлетворяет одному из уравнений

где целое число.

11. Натуральное уравнение (т. е. уравнение, связывающее длину дуги и радиус кривизны; § 512, п. 10)

Вытекает из (6) и (11); усматривается из треугольника .

12. Кинематическое свойство. На языке кинематики уравнение (13) выражает следующее свойство: если дуга логарифмической спирали катится (без скольжения) по прямой то центр кривизны, соответствующий точке касания, движется по прямой, наклоненной к под углом .

13. Картографическое свойство. Сферическая линия, пересекающая меридианы под постоянным углом а (эта линия называется локсодромой), проецируется из полюса сферы на плоскость экватора логарифмической спиралью; полюс последней находится в центре сферы. Меридианы проецируются при этом лучами, направленными по полярным радиусам спирали; эти лучи пересекаются спиралью под тем же углом а, под которым локсодрома пересекает меридианы.

14. Исторические сведения. В 1638 г. Р. Декарт нашел, что спираль, дуга которой растет пропорционально полярному радиусу, обладает тем свойством, что ее касательная образует постоянный угол с полярным радиусом. Примерно в то же время Э. Торричелли независимо от Декарта и гораздо более подробно изучил свойства «геометрической спирали» — так он назвал линию, которую определил с помощью построения, изложенного выше в н. 3. Торричелли доказал геометрически свойства, изложенные в пп. 6 и 7. Якобом Бернуллиъ 1692 г. были открыты свойства пп. 8—11 и

ряд других свойств «изумительной спирали» (spira mirailis). Название «логарифмическая спираль» (угол между полярными радиусами пропорциопален логарифму их отношения) дано Вариньоном в 1704 г. Позднее логарифмическая спираль была предметом многочисленных исследований. Так, ее кинематическое свойство найдено Э. Ш. Каталаномв 1856 г.