§ 295. Геометрический смысл интегрирования

Пусть данная непрерывная функция, какая-либо ее первообразная. Если построить график функции (рис. 322), то угловой коэффициент касательной будет выражаться данной функцией

Пусть другая первообразная той же функции Тогда угловые коэффициенты касательных и (точки касания имеют одну и ту же абсциссу ) одинаковы, т. е. .

График первообразной функции называется интегральной линией функции (или уравнения Касательные к двум интегральным линиям в соответствующих точках параллельны. Вместе с тем две интегральные линии отстоят друг от друга (по вертикали) на постоянное расстояние на рис. 322), так что, имея одну интегральную линию, легко построить другие.

Через каждую точку проходит одна-единственная интегральная линия.

Интегральные линии строятся (приближенно) следующим образом. Из нескольких десятков точек (см. рис. 323, 324, 325), густо покрывающих какую-либо

Рис. 322

Рис. 323

Рис. 324

часть плоскости, проводим короткие отрезки (или стрелки), указывающие направление касательной.

Получаем «поле направлений». Затем проводим на глаз плавную линию так, чтобы она в ряде своих точек касалась стрелок. Получим одну интегральную линию. Таким же образом построим и ряд других.

Пример 1. Найти интегральные линии уравнения

Данная функция в рассматриваемом примере есть постоянная величина 1. Угловой коэффициент всех стрелок равен единице, т. е. наклон касательной всюду 45°. Интегральные линии (рис. 323) — параллельные прямые. Уравнение каждой из них есть т. е. Величина С, постоянная для каждой прямой, меняется от одной прямой к другой.

Пример 2. Найти интегральные линии для функции т. е. для уравнения .

Вдоль оси берем горизонтальные стрелки вдоль ординаты берем стрелки с угловым коэффициентом Проведя на глаз интегральные линии, получаем «параллельные» параболы ; рис. 324 .

Рис. 325

Пример 3. На рис. 325 показаны интегральные линии функции . Ни одна из них не пересекает ось , так как при первообразные функции не определены функция разрывна при Вследствие этого лишь те интегральные линии отстоят друг от друга на равные расстояния, которые лежат по одну сторону от оси ординат. Лежащие справа представляются уравнением слева — уравнением . Неопределенный интеграл выражается (для всех кроме ) формулой

Замечание. Другой геометрический смысл интегрирования получится, если построить график (рис. 326) данной функции Пусть дуга целиком лежит выше оси Проведем две ординаты Левую ординату будем считать неподвижной, а правую подвижной. Площадь будет одной из первообразных для функции аргумента (ср. § 292, п. 2). Взяв вместо неподвижную ординату получим другую первообразную — площадь . Эти две первообразные отличаются на постоянную величину

Рис. 326