§ 424. Непрерывность функции нескольких аргументов

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке если соблюдаются следующие два условия:

1) в точке функция имеет определенное значение

2) в точке эта функция имеет предел, тоже равный

При нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в точке

Аналогично для случая трех и большего числа аргументов.

Определение 2. Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Пример 1. Функция заданная формулами

непрерывна в точке Действительно, она имеет в точке значение нуль; кроме того, она имеет здесь предел, тоже равный нулю (ср. пример 2 § 423). Во всех остальных точках числовой плоскости функция тоже непрерывна. Поэтому она непрерывна в любой области.

Пример 2. Функция заданная формулами

разрывна в точке Первое условие определения 1 здесь выполнено, а второе нет: функция не имеет предела при (см. пример 1 § 423).