§ 327. Интегралы с бесконечными пределами

Определение 1. Если интеграл

при имеет конечный предел, то этот предел называется интегралом функции от а до бесконечности и обозначается

Итак, по определению

Если интеграл (1) при имеет бесконечный предел или вовсе не имеет предела, то говорят, что несобственный интеграл (2) расходится. При наличии конечного предела интеграла (2) говорят, что несобственный интеграл (2) сходится.

Пример 1. Найти интеграл

Решение. Имеем:

При — это выражение имеет предел

Значит,

Геометрический смысл. Интеграл изображается площадью (рис. 343) под линией . По мере удаления ординаты площадь возрастает, но не безгранично. Она стремится к Говорят, что площадь бесконечной полосы под линией равна .

Пояснение. Рассмотрим ступенчатую фигуру рис. 343. Ее первая ступень имеет площадь вторая — площадь третья — площадь 1 и т. д. С возрастанием числа ступеней их общая площадь стремится к 2 (сумма бесконечно убывающей прогрессии). Число 2 естественно считать мерой площади бесконечной ступенчатой полосы. Площадь бесконечной криволинейной полосы еще меньше.

Рис. 343

Пример 2. Найти

Решение. Интеграл имеет бесконечный предел при Искомый несобственный интеграл расходится.

Геометрически: площадь полосы (рис. 344) под гиперболой неограниченно возрастает (бесконечная криволинейная полоса имеет бесконечную площадь).

Пример 3. Два наэлектризованных шарика с положительными зарядами находятся на расстоянии между центрами. Шарик с зарядом удаляется от под действием силы отталкивания переменное расстояние между центрами, коэффициент пропорциональности).

Работа силы на участке выражается интегралом (§ 317):

Несобственный интеграл выражает потенциал.

Рис. 344

Определение 2. Интегралом функции от до а называется предел интеграла при :

Сходимость и расходимость несобственного интеграла понимаются так же, как и в определении 1.

Определение 3. Интегралом функции от до

называется сумма

Она не зависит от выбора а. Предполагается, что оба несобственных интеграла (6) сходятся.

Интеграл (5) выражает площадь полосы под линией бесконечно простирающейся в обе стороны (линия на рис. 345).

Пример 4. Найти площадь бесконечной полосы под линией (верзьера Анъези, рис. 345; см. § 506).

Рис. 345

Решение. Искомая площадь представляется интегралом

Так как то

Аналогично вычисляется первое слагаемое, и получаем:

Замечание 1. Основная формула

в применении к сходящемуся интегралу имеет вид

Символ обозначает

Аналогично применяется формула интегрирования по частям. Для вычисления несобственного интеграла можно применять и способ подстановки, но при условии, что функция монотонна.

Замечание 2. Иногда собственный интеграл выгодно преобразовать в несобственный. Так, для вычисления интеграла

лучше всего ввести вспомогательную функцию

Получим:

Преобразуя интеграл (9) к виду (11), мы рассматриваем данный интеграл как предел интеграла