§ 252. Параметрическое задание функции

Пусть даны две функции аргумента

Тогда одна из них, например у, есть функция другой Задание этой функции с помощью равенств (1) называется параметрическим у вспомогательная величина называется параметром.

Чтобы получить явное выражение у в функции надо решить уравнение относительно (это не всегда удается) и подставить найденное выражение в уравнение

Часто, наоборот, удобнее переходить от непараметрического задания к параметрическому. Пользуясь возможностью произвольного выбора одной из функций стараются обеспечить однозначность и, по возможности, простоту обеих функций.

Производная выражается через параметр формулой

При параметрическом представлении обе переменные х, у ставятся в равноправное положение (ср. § 251). Пример 1. Даны две функции:

Они параметрически задают у как двузначную функцию (и наоборот). Из первого уравнения находим: так что Подставляя во второе уравнение, получаем:

Это — уравнение окружности (ср. § 251, пример 2). Параметр есть угол (см. рис. 245). Производная выраженная через параметр равна

Это — угловой коэффициент касательной

Пример 2. Уравнение

представляющее эллипс, задает двузначную функцию Для ее параметрического задания можно произвольно выразить одну из переменных, например в функции Положив найдем Знак можно выбрать произвольно. Возьмем плюс. Получаем параметрическое задание

Геометрический смысл параметра показан на рис. 247, где окружность радиуса точка, взятая на одной вертикали с точкой эллипса по ту же сторону от оси Имеем . Производная выражается через формулой

Это — угловой коэффициент касательной .

Замечание. Обычное задание функции можно рассматривать как частный случай параметрического, его можно записать в виде

Рис. 247