Это — параметрические уравнения эволюты (роль параметра играет 
Чтобы исключить у, представим систему (2)-(3) в виде
Обе части первого уравнения возведем в куб, а второго — в квадрат. Приравняв левые части, получим уравнение эволюты
Эволюта параболы есть полукубическая парабола (рис. 383).
Пример 2. Найти эволюту циклоиды. Решение. Из параметрических уравнений циклоиды (§ 253)
находим по формулам 
§ 344:
Сходство уравнений (4) и (5) не случайно; если ввести новый параметр 
с помощью соотношения
Рис. 383
Рис. 384
то уравнения (5) преобразуются к виду
Значит, эволюта V циклоиды 
(рис. 384) есть циклоида, конгруэнтная с данной, но смещенная вдоль основания 
на половину основания и опущенная под основание на расстояние 
равное высоте.
Из (6) видно, что повороты производящих кругов в соответствующих точках общих циклоид отличаются на 
в частности, вершине одной из циклоид соответствует точка смыкания ветвей у другой.
центров кривизны плоской линии 
называют эволютойлинии 
Формулы (III), (3) и (3а) § 344, дающие координаты 
центра кривизны, вместе с тем являются параметрическими уравнениями эволюты (в формулах (3) и (3а) роль параметра играют соответственно 
Исключив параметр, получим уравнение, связывающее координаты эволюты.
Подставив в формулы (3а) § 344 выражения 
, получим
