§ 500. Линейные уравнения любого порядка

Линейным уравнением порядка n называется уравнение вида

Если то (1) называется уравнением без правой части (или однородным), если то — уравнением с правой частью (или неоднородным).

Свойства линейных уравнений второго порядка (§§ 496— 499) следующим образом распространяются на линейные уравнения высших порядков.

Если решения уравнения без правой части

то функция

тоже является решением. Последнее не будет общим, если решения линейно зависимы, т. е. связаны соотношением

где из постоянных хотя бы одна отлична от нуля.

Если же решения линейно независимы, т. е. если равенство (4) возможно лишь тогда, когда все постоянные равны нулю, то (3) есть общее решение уравнения (2).

Общее решение уравнения (1) получается из какого-либо частного его решения прибавлением общего решения уравнения (2).

Линейное уравнение с постоянными коэффициентами без правой части

решается с помощью характеристического уравнения

I. Если все корни характеристического уравнения действительны и однократны, то общее решение уравнения (5) есть

II. Если какой-либо действительный корень имеет кратность то в формуле (7) соответствующие членов заменяются слагаемым

III. Если характеристическое уравнение имеет пару однократных сопряженных комплексных корней то соответствующая пара членов в формуле (7) заменяется слагаемым

IV. Если какая-либо пара сопряженных комплексных корней имеет краткость то соответствующие пар членов в формуле (7) заменяются слагаемым

Пример. Рассмотрим уравнение

Его характеристическое уравнение

имеет однократный действительный корень и пару двукратных сопряженных мнимых корней Общее решение уравнения

Для линейного уравнения с постоянными коэффициен тами с правой частью

общее решение получается с помощью квадратур из общего решения соответствующего уравнения без правой части по методу, объясненному в § 501. Но если правая часть имеет вид многочлен), или более общий вид

или представляет сумму членов подобного вида, то решение упрощается.

I. Пусть

где многочлен степени Тогда уравнение (14) имеет частное решение вида

где многочлен степени при условии, что число не является корнем характеристического уравнения (6).

В противном случае уравнение (14) имеет частное решение вида

где I — кратность, с которой входит в число корней характеристического уравнения (ср. § 499, правила 1, 2 и примеры 1-4).

II. Пусть

где многочлены степени . Тогда уравнение (14) имеет частное решение вида

где есть многочлены, степень которых не превышает старшей из степеней при условии, что комплексные числа не являются корнями характеристического уравнения (6). В противом случае уравнение имеет частное решение вида

где I — кратность, с которой пара корней входит в число корней характеристического уравнения (ср. § 499, правило 3 и примеры 5, 6).