§ 258. Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим ряд равноотстоящих значений аргумента

и соответствующие значения функции

Введем обозначения

и т. д. Величины называются первыми разностями функции Вторыми разностями называются величины Они обозначаются (читается: «дельта два игрэк»),

Аналогично определяются третьи разности

Пример 1. Пусть Первые разности будут:

Вторые разности:

Третьи разности:

При бесконечно малом первая разность имеет, как правило, первый порядок относительно вторая разность — второй порядок, третья — третий и т. д.

Главный член первой разности ( в примере 1) мы назвали (§ 228) дифференциалом функции. Теперь будем называть его первым дифференциалом. Вторым дифференциалом мы назовем главный член второй разности, пропорциональный в примере 1), третьим дифференциалом — главный член третьей разности, пропорциональный в примере 1) и т. д. Сформулируем это точно.

Определение. Пусть вторая разность функции разбита на сумму двух членов:

где В не зависит от и член имеет высший порядок малости относительно Тогда член называется вторым дифференциалом функции у и обозначается или Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.

Теорема 1. Коэффициент В при в выражении второго дифференциала равен второй производной Коэффициент при в выражении третьего дифференциала равен третьей производной

Пример 2. Если то В соответствии с этим При имеем: (ср. пример 1). Далее (при любом значении в соответствии с этим

Теорему 1 можно иначе сформулировать так.

Теорема 1а. Дифференциал порядка равен произведению производной на степень приращения независимого переменного:

Так как для независимого переменного имеем:

то

Пример 3. (ср. § 256, пример 1).

Пример 4. (ср. § 256, пример 2).

Теорема 2. Если считать дифференциал аргумента величиной, не зависящей от то второй дифференциал функции равен дифференциалу первого ее дифференциала:

При том же условии третий дифференциал есть дифференциал второго и т. д.

Пример 5. Пусть Имеем: Если считать не зависящим от то при дифференцировании его нужно рассматривать как постоянную. Значит, это — второй дифференциал функции (см. пример 3). Далее а это — третий дифференциал от

Второй дифференциал линейной функции независимого переменного равен нулю:

В частности, второй дифференциал независимого переменного равен нулю:

Третий дифференциал квадратичной функции равен нулю:

Вообще, дифференциал многочлена степени равен нулю.