§ 512. Эвольвента (развертка) круга

1. Механическое образование. В близком родстве с архимедовой спиралью находится другая спираль — эвольвента круга (или эвольвента окружности). Это — линия, описываемая концом (рис. 495) натянутой нити сматываемой с круглой катушки (или наматываемой на катушку; в последнем случае точка движется в обратном направлении).

Рис. 495

Геометрически указанное свойство выражается следующим образом.

2. Определение. Пусть точка исходя из начального положения многократно описывает окружность радиуса параметр эвольвенты круга). На касательной откладывается по направлению, противоположному направлению вращения, отрезок равный дуге пройденной точкой Эвольвента круга есть линия, описываемая точкой Одна и та же окружность имеет бесчисленное множество эвольвент (соответствующих всевозможным положениям начальной точки ).

В зависимости от того, вращается ли точка по часовой стрелке или в противоположном направлении, получаем правую эвольвенту круга на рис. 495) или левую Обычно две эвольвенты данного круга рассматриваются как две ветви одной линии.

3. Построение. Данную окружность делим на равных дуг На касательной, проведенной через откладываем отрезок Его делим на то же число равных частей:

На касательных, проведенных через последовательные точки откладываем (по направлению, противоположному смещению точки касания) отрезки соответственно равные отрезкам Получим точки первого витка эвольвенты круга. Точки второго витка получим, отложив на продолжениях отрезков отрезки равные Аналогично получим точки следующих витков.

4. Особенности формы. Эвольвента окружности, в силу общих свойств эвольвенты любой линии (ср. § 347, а также § 346), обладает следующими свойствами.

а) Эвольвента окружности пересекает все касательные этой окружности под прямым углом. В частности, эвольвента составляет в начальной точке прямой угол с касательной

б) Обратно, нормаль к эвольвенте служит касательной к окружности. При этом точка касания является центром кривизны эвольвенты, так что отрезок есть радиус кривизны эвольвенты:

В частности, в начальной точке радиус кривизны эвольвенты равен нулю:

в) Радиус кривизны эвольвенты возрастает по мере удаления точки от начальной точки; его приращение равно длине соответствующей дуги окружности:

В частности, на участке эвольвенты приращение радиуса кривизны равно причем

где угол поворота радиуса от начального положения

г) По построению эвольвента не проникает внутрь круга О. Поэтому при прохождении точки через начальную точку направление движения меняется на противоположное, т. е. точка возврата эвольвенты.

5. Связь с архимедовой спиралью. Сопоставим правую (левую) ветвь эвольвенты круга с правой (левой) архимедовой спиралью с тем же параметром (т. е. с шагом что и эвольвента круга. Пусть эта спираль (пунктирная линия на рис. 495) исходит из центра О данной окружности по направлению луча получаемого поворотом начального радиуса на угол Точка описывающая спираль, неограниченно приближается к эвольвенте: кратчайшее расстояние от точки до эвольвенты (оно измеряется отрезком нормали эвольвенты) уже в конце первого витка составляет лишь 1% от шага спирали.

С другой стороны, полярный радиус спирали, составляющий угол -90° (+90°) с радиусом имеет ту же длину что отрезок Это значит, что основание перпендикуляра у опущенного из центра О на касательную эвольвенты, описывает архимедову спираль.

6. Полярное уравнение эвольвенты окружности (полюс О — центр данной окружности; полярная ось ОХ направлена по начальному радиусу

где радиус окружности.

7. Параметрические уравнения

8. Длина s дуги

Чтобы получить отрезок той же длины, проведем прямую до пересечения в точке V с продолжением радиуса Половина отрезка по длине равна

9. Площадь S сектора описанного полярным радиусом, а также площадь криволинейного треугольника основанием которого служит отрезок а боковыми сторонами — дуга окружности и дуга эвольвенты, втрое меньше площади треугольника (построенного в п. 8):

10. Натуральное уравнение эвольвенты круга. Натуральным уравнением линии называется уравнение, связывающее длину ее дуги отсчитываемой

от некоторой начальной точки и радиус кривизны в точке Натуральное уравнение эвольвенты круга

оно получается из (4) и (7) исключением а.

11. Кинематическое свойство. На языке кинематики натуральное уравнение (10) выражает следующее свойство: если дуга эвольвенты круга катится (без скольжения) по прямой, то центр кривизны соответствующий точке касания, движется по параболе с параметром

12. Исторические сведения. Эвольвенты различных линий впервые были изучены X. Гюйгенсом в его знаменитой работе о часовом маятнике (1673 г.) (ср. § 514, и. 17). Основные свойства эвольвенты круга найдены французским ученым Ла Гиром (1640—1718) и изложены в его работе 1706 г. Свойство п. 5 найдено А. К. Клеро (1713—1765) в 1740 г. Свойство п. 9, а также кинематическое свойство натурального уравнения (любой линии) указаны Маннгеймом в 1859 г.