§ 175. Двуполостный гиперболоид

Поверхность, представляемая уравнением

называется двуполостным гиперболоидом (рис. 193).

Сечения плоскостями и представляются уравнениями

Это — гиперболы и на рис. 193). Для каждой из них ось является действительной осью (ср. § 174).

Плоскости не встречаются с гиперболоидом (1) при (ср. § 174). При они касаются гиперболоида в точках . При в сечении получаются эллипсы

подобные друг другу ( и др.). Размеры их увеличиваются по мере удаления от плоскости

Таким образом, поверхность (1) состоит из двух разобщенных полостей, откуда и название двуполостный гиперболоид.

Гиперболы (2) и (3) называются главными сечениями, их общие вершины вершинами двуполостного гиперболоида, их действительная ось продольной осью двуполостного гиперболоида, мнимые оси и поперечными осями симметрии.

Двуполостный гиперболоид имеет центр О, оси симметрии и плоскости симметрии Две полости гиперболоида симметричны друг другу относительно плоскости

Двуполостный гиперболоид вращения. Уравнение (1) при принимает вид

Рис. 193

и представляет поверхность, порождаемую вращением гиперболы около ее действительной оси. Она называется двуполостным гиперболоидом вращения. Двуполостный гиперболоид с неравными поперечными полуосями называется трехосным.

Пример 1. Определить вид поверхности

Решение. Данное уравнение преобразуем к виду

Имеем двуполостный гиперболоид (трехосный). Продольная ось равна и совпадает с осью одна поперечная ось равна и направлена по оси другая равна и направлена по оси Пример 2. Уравнение

представляет однополостный (а не двуполостный) гиперболоид (хотя в правой части стоит -1, а не +1, но в левой части два отрицательных слагаемых). Представив данное уравнение в виде видим, что гиперболоид порожден вращением равносторонней гиперболы около ее мнимой оси (совпадающей с осью