§ 253. Циклоида

Циклоидой называется линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по прямой линии (направляющей). Катящаяся окружность называется производящей.

На рис. 248 направляющей является прямая производящая окружность дана в двух положениях: в «начальном» когда точка попадает на направляющую и в «промежуточном»

Замечание. Выражение «катится без скольжения» означает, что точка касания отстоит от ее начального положения О на расстояние, равное дуге

Параметрические уравнения циклоиды. Если оси координат расположить, как на рис. 248, и взять в качестве параметра угол то получим следующие параметрические уравнения циклоиды:

где а — радиус производящей окружности.

Рис. 248

Если решить уравнение (3) относительно и подставить в (2) получим как бесконечно многозначную функцию у:

где А — любое целое число.

Ордината у есть однозначная, но не элементарная функция (см. рис. 248).

Угловой коэффициент касательной равен

а угловой коэффициент прямой равен

Следовательно, т. е. Значит, для построения касательной к циклоиде достаточно соединить с наивысшей точкой производящей окружности (угол прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр).