§ 117. Свойства смешанного произведения

1. При круговой перестановке (§ 110) сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей — меняет знак на обратный:

Вытекает из геометрического смысла (§ 116) и из § 110.

2. (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.

Вытекает из определения смешанного произведения и § 112, п. 3.

3. (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).

Вытекает из определения смешанного произведения и § 112, п.4.

Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения

4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю:

Пример 1.

Пример

Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, Поэтому