§ 359. Главная нормаль. Сопутствующий трехгранник

Нормаль линии (см. рис. 396), лежащая в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью; нормаль перпендикулярная соприкасающейся плоскости, — бинормалью. Плоскость проходящая через касательную и бинормаль, называется спрямляющей плоскостью.

Три взаимно перпендикулярные плоскости (соприкасающаяся), (нормальная) и (спрямляющая) образуют сопутствующий трехгранник, три взаимно перпендикулярные прямые (ребра сопутствующего трехгранника) часто принимают за оси координат (касательную за ось абсцисс, главную нормаль за ось ординат, бинормаль за ось апликат). О выборе положительных направлений см. § 361.

Направляющие векторы ребер в общем случае удобно вычислять в следующем порядке:

(вектор касательной; см. § 351), (1)

(вектор бинормали; см. § 358), (2)

(вектор главной нормали). (3)

Выражение (3) вектора упрощается, когда за параметр принята дуга линии Именно

Пример. Найти сопутствующий трехгранник винтовой линии

Решение. Вектор касательной (§ 355, пример 1) есть

Вектор бинормали (§ 358, пример) есть

Вектор главной нормали есть

Уравнения главной нормали имеют вид

Из них видно, что главная нормаль перпендикулярна оси винтовой линии и пересекает эту ось в точке Значит, главная нормаль идет вдоль радиуса цилиндра, несущего винтовую линию. Спрямляющая плоскость совпадает с касательной плоскостью цилиндра.