§ 73. Полярные координаты

Возьмем на плоскости (рис. 98) произвольную точку О (полюс) и проведем луч ОХ (полярная ось). Примем какой-либо отрезок за единицу длины и какой-либо угол (обычно берется радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки на плоскости можно задать двумя числами: 1) положительным числом выражающим длину отрезка (полярный радиус); 2) числом выражающим величину угла (полярный угол). Числа называются полярными координатами точки

Пример 1. Полярные координаты определяют точку (см. рис. 98), полярные координаты ту же точку полярные координаты (а также или ) — точку А.

Каждой паре значений отвечает только одна точка, но одной и той же точке отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное (ср. пример 1). Если же точка совпадает с полюсом, то значение полярного угла остается совершенно произвольным.

Можно условиться выделять только одно из значений полярного угла, например брать в пределах

Такое значение полярного угла называется главным.

Рис. 98

Пример 2. Точке (см. рис. 98) соответствуют полярные координаты главное значение полярного угла есть .

Точке отвечают полярные координаты главное значение согласно условию (1) есть (а не ).

При введении главных значений каждой точке (кроме полюса) отвечает одна пара полярных координат. Для полюса же остается произвольным.

Замечание 1. Когда точка описывая окружность с центром в полюсе О (рис. 99), пересекает в точке К продолжение полярной оси, главное значение полярного угла изменяется скачком (в точке оно близко к , в точке Поэтому во многих случаях нецелесообразно ограничиваться только главными значениями

Замечание 2. Когда точка описывая прямую (рис. 100), проходит через полюс О, значение изменяется скачком. Например, если то для точки (на луче а для точки (на луче ) ( целые числа). Во избежание этого можно приписать всем точкам прямой одно и то же значение например а полярные радиусы считать положительными на луче и отрицательными на луче Например, полярные координаты

Рис. 99

Рис. 100

определят точку а полярные координаты

— точку .

Те же точки можно задать координатами

(точка ) и

(точка ). При этом мы приписываем всем точкам прямой значение так что положительно на луче и отрицательно на .

Пример 3. Построить точку с полярными координатами

Полярному углу отвечает луч (рис. 101). На его продолжении откладываем Получаем искомую точку Той же точке соответствуют полярные координаты