§ 407. Комплексная функция действительного аргумента

Комплексная величина

(х, у — действительные числа) называется функцией действительного аргумента если каждому из значений (в рассматриваемой области) соответствует определенное значение (т. е. определенное значение и определенное значение

При этом каждая из координат является (действительной) функцией аргумента .

Запись:

равносильна следующим двум:

Если изображать комплексное число точкой плоскости то функция изобразится множеством точек, обособленных или заполняющих линию (эта линия параметрически представляется уравнениями (3)).

Понятия предела и бесконечно малой величины для комплексных функций определяются так же, как и для действительных (за абсолютное значение комплексного числа принимают его модуль Точки, изображающие значения функции неограниченно приближаются к точке, изображающей предел, когда аргумент стремится к данному значению (или к бесконечности). Чтобы найти предел с комплексной функции достаточно найти пределы координат х, у. Тогда

Пример 1. Последовательность

изображается (рис. 419) множеством обособленных точек

Рис. 419

Рис. 420

Они лежат на прямой Имеем:

Соотношение (7) означает, что модуль разности - неограниченно уменьшается при .

Геометрически: неограниченно приближаются к точке

Пример 2. Комплексная функция

аргумента изображается (рис. 420) линией

(логарифмическая спираль). Имеем:

При переменная точка комплексной плоскости, двигаясь вдоль спирали по направлению стрелки, неограниченно приближается к точке О, изображающей предел функции.