§ 213. Основные теоремы о пределах

Здесь предполагается, что все данные величины (слагаемые, сомножители, делимое и делитель) зависят от одного и того же аргумента и обладают конечными пределами (при или при ).

Теорема 1. Предел суммы двух, трех и вообще любого неизменного числа слагаемых равен сумме пределов отдельных слагаемых (ср. § 212, замечание 1).

Короче: предел суммы равен сумме пределов

Здесь при всех знаках подразумевается значок

Теорема 1а (частный случай теоремы 1):

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще любого неизменного числа сомножителей равен произведению их пределов:

Теорема 2а. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Теорема 3. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя не равен нулю:

Пример 1.

Если предел делителя равен нулю, а предел делимого не равен нулю, то частное имеет бесконечный предел. Пример 2.

здесь

Замечание 1. Если и делимое и делитель стремятся к нулю, то частное может иметь как бесконечный, так и конечный предел (§ 212, замечание 3). Оно может и не иметь предела.

Так, но частное не имеет предела при (§ 204, пример 3).

Замечание 2. В случае, когда , но теорема 3 останется верной, если ее истолковать в более широком смысле. Именно надо понимать запись (с — число, не равное нулю) в том смысле, что .

Пример 3. Найти

Предел делителя равен нулю, а предел делимого равен 6. Понимая запись в указанном смысле, получаем:

(ср. пример 2).

Замечание 3. В случае, когда теорема 3 неприменима, так как выражение неопределенно.

Но неверного результата теорема 3 не может дать и в этом случае. Пусть, например, надо найти

Применив (формально) теорему 3, получаем Это неопределенное выражение служит сигналом, закрывающим прямой путь и заставляющим искать обходный (см. § 204, пример 2).

«Сокращать» на нуль и писать 1 вместо , конечно, нельзя.