§ 473. Вычисление криволинейного интеграла

Чтобы вычислить криволинейный интеграл

надо представить линию параметрическими уравнениями

и подставить выражение (2) в подынтегральное выражение. Обыкновенный интеграл

равен криволинейному интегралу (1).

Замечание. Одну из функций можно выбрать произвольно, лишь бы обе функции обладали непрерывными производными на всем промежутке за исключением точек, где касательная меняется скачком, как в точках на рис. 464. При наличии таких точек интеграл (3) — несобственный (§ 328).

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл, взятый вдоль пространственной линии.

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль верхней части полуокружности (рис. 465).

Решение. Представим дугу параметрическими уравнениями

(здесь есть угол так что ). Подставляя (5) в (4), находим:

Рис. 465

Можно принять за параметр абсциссу взять уравнение полуокружности в виде Тогда и получаем:

Чтобы принять за параметр ординату надо предварительно разбить дугу на части, иначе не будет однозначной функцией ординаты.

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

вдоль периметра треугольника (рис. 466).

Решение. Разбиваем замкнутый путь на три участка На участке принимаем за параметр абсциссу (при этом на участке ординату (при этом ), на участке абсциссу (при этом ). Имеем:

Рис. 466