§ 72. Равносторонняя гипербола как график уравнения y=(mx+n)/(px+q)
Рассмотрим уравнение
при 
при 
имеем прямую 
.
Если определитель
не равен нулю, то уравнение (1) представляет ту же равностороннюю гиперболу, что и уравнение (1) § 71:
где 
с той лишь разницей, что центр смещается из начала координат в точку 
(рис. 95, 96). Значит (§ 71), полуоси равны 
Рис. 95
Рис. 96
В случае, когда 
(тогда 
), действительная ось составляет с осью абсцисс угол +45° (см. рис. 95), если же 
то угол -45° (см. рис. 96). Пример 1. Уравнение
представляет равностороннюю гиперболу (см. рис. 95) с центром 
и с полуосями 
. Ось 
образует с ОХ угол 45°, так как 
Координаты вершины А будут:
Так же найдем:
Пример 2. Уравнение
представляет равностороннюю гиперболу (см. рис. 96) с центром 
и с полуосями 
Ось 
составляет с ОХ угол -45°, так как 
равен нулю, то величины 
пропорциональны 
так что 
делится на 
частное равно 
Уравнение (1) представляет в этом случае прямую 
лишенную точки 
(при 
выражение (1) неопределенно; см. § 71, замечание).
представляет прямую 
лишенную точки 
Если неопределенной величине у давать всевозможные значения, то, кроме прямой 
получим еще прямую 
из прямой 
можно наглядно представить себе следующим образом. Рассмотрим уравнение 
здесь 
так что при 
мы имеем гиперболу с асимптотами 
Но когда величина 
близка к 1, эта гипербола (рис. 97, где 
) очень тесно примыкает к своим асимптотам 
и 
пересекающимся в точке 
Можно было бы ожидать, что при 
мы получим
Однако прямая 
выпадает, так как она параллельна оси 
значит (§ 14, замечание 2), ее нельзя представить уравнением, разрешенным относительно ординаты. Вместе с прямой 
выпадает и лежащая на ней точка К.